《數(shù)學(xué)的雨傘下：理解世界的樂(lè)趣》這本書是法國(guó)巴黎高等師范學(xué)院概率學(xué)博士米卡埃爾·洛奈的著作，全書沒(méi)有用一個(gè)公式，卻講清楚了數(shù)學(xué)思維到底是什么。

一上市，就受到了科普圈的熱烈追捧，更是獲得了第十九屆文津圖書獎(jiǎng)科普類提名圖書、2023年度《環(huán)球科學(xué)》·最美科學(xué)閱讀榜單、清華大學(xué)閱讀推薦等，被讀者稱為“讀過(guò)的最絲滑數(shù)學(xué)科普書，沒(méi)有之一”。

同時(shí)這本書也受到了讀者的廣泛喜愛(ài)，豆瓣上9.0的高分，微信讀書上也是好評(píng)如潮。

如果你不愿意讀復(fù)雜繁瑣的數(shù)學(xué)公式，卻又希望領(lǐng)略數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，那么這本書就是最好的選擇。

《數(shù)學(xué)的雨傘下：理解世界的樂(lè)趣》

作者：[法] 米卡埃爾?洛奈（Micka?l Launay）

譯者：歐瑜

如果你有一臺(tái)舊計(jì)算機(jī)，它因?yàn)槎嗄甑念l繁使用而變得破舊，那么你可能會(huì)注意到鍵盤上鍵帽的破舊程度并不完全相同。E 鍵和空格鍵通常老化得更厲害，不像 $ 鍵或 ù 鍵，經(jīng)過(guò)多年的使用之后看起來(lái)依然很新。

這一點(diǎn)兒也不奇怪。有些鍵是最常用的鍵，對(duì)應(yīng)法語(yǔ)中最常出現(xiàn)的字母。在一份沒(méi)有特殊風(fēng)格的普通文本中，E 占去了所用字母中的15.87%，約為僅占 0.24% 的字母 Y 的 66 倍。我們可以在售賣備用部件的網(wǎng)店買到單個(gè)的替換鍵帽。你會(huì)毫不意外地看到，銷售量最高的替換鍵帽是 E 鍵，A 鍵和 N 鍵緊隨其后。

這種使用不均的現(xiàn)象存在于不同的領(lǐng)域之中。彈吉他的人會(huì)看到，琴弦因自己彈奏曲目中和弦使用頻率的高低而出現(xiàn)不同程度的磨損。通往較高樓層的電梯按鈕通常會(huì)磨損得更厲害，因?yàn)橐粯腔蚨堑淖魰?huì)更常選擇走樓梯。絕大多數(shù)四色圓珠筆在被丟棄的時(shí)候，綠色和紅色的筆芯仍然是滿的——藍(lán)色和黑色最先用完。

出于同一效應(yīng)，過(guò)去幾個(gè)世紀(jì)的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，他們所用對(duì)數(shù)表的最前面幾頁(yè)，無(wú)一例外要比最后幾頁(yè)磨損得更快。換言之，以 1、2 或 3開(kāi)頭的數(shù)被查找的頻率要高于以 7、8 或 9 開(kāi)頭的數(shù)，而科學(xué)家們對(duì)小的數(shù)并沒(méi)有任何有意識(shí)的偏好，這就好像是大自然親自在給予科學(xué)家去研究的數(shù)中造就了這種不平衡。

這一觀察結(jié)果本該引起科學(xué)家的注意，但很可惜，他們中的大多數(shù)人并不認(rèn)為這種現(xiàn)象值得研究。倘若不去尋找顯而易見(jiàn)之事，人們就會(huì)很容易看不到它。在三個(gè)世紀(jì)里，本福特定律實(shí)際上就擺在世界各地科學(xué)家們的眼前，但沒(méi)有一個(gè)人看到它。

直到 19 世紀(jì)末，一只羞怯的手才開(kāi)始揭開(kāi)這張神秘的面紗。1881 年 12 月，加拿大裔美國(guó)天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家西蒙·紐科姆（Simon Newcomb）發(fā)表了一篇題為《關(guān)于不同數(shù)字在自然數(shù)中使用頻率的記錄》（“Note on the Frequency of Use of the Differents Digits inNatural Numbers”）的文章。這篇發(fā)表在《美國(guó)數(shù)學(xué)雜志》（AmericanJournal Of Mathematics）上的文章只有短短兩頁(yè)。紐科姆注意到他所用對(duì)數(shù)表頁(yè)面磨損程度的不均，于是出于好奇提出了前幾個(gè)數(shù)的分布問(wèn)題，并用幾行字做出了解答。

可惜的是，他的發(fā)現(xiàn)幾乎無(wú)人問(wèn)津。

必須承認(rèn)，這種現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)原理非常簡(jiǎn)單，而且不太值得專家的關(guān)注。然而，重要的不是計(jì)算，而是這些計(jì)算告訴我們的有關(guān)這個(gè)世界的信息。1881 年，似乎沒(méi)人意識(shí)到，西蒙·紐科姆的發(fā)現(xiàn)如同把聚光燈照在宇宙背后轉(zhuǎn)動(dòng)的一個(gè)巨大齒輪上。直到五十多年后，弗蘭克·本福特才意識(shí)到這一發(fā)現(xiàn)的博大之處，并為它撰寫了一篇二十來(lái)頁(yè)的文章。

盡管篇幅很短，但紐科姆的文章很有啟發(fā)性，值得我們?yōu)樗Ａ羝獭Ｎ恼碌慕Y(jié)論很簡(jiǎn)單：世間的數(shù)是均勻分布的，而且是從乘法角度來(lái)看的均勻分布！

因此，在一張?jiān)醋匀我庖环N自然現(xiàn)象的數(shù)據(jù)列表中，介于 1 和 2 之間的數(shù)會(huì)和介于 2 和 4 之間以及介于 4 和 8 之間的數(shù)一樣多（圖 1.22）。這種現(xiàn)象僅僅是因?yàn)閿?shù)與數(shù)的距離在乘法上是相等的，即從一個(gè)數(shù)到其 2 倍的數(shù)的區(qū)間。自然而然地，以 1 或 2 開(kāi)頭的數(shù)就會(huì)比以 7、8或 9 開(kāi)頭的數(shù)要多。

顯然，如果數(shù)中的首位數(shù)字看起來(lái)分布不均，那是因?yàn)槲覀儧](méi)有去看應(yīng)該看的信息：均勻分布的是這些數(shù)的對(duì)數(shù)?？纯茨阍诔欣镉涗浀膬r(jià)格清單、太陽(yáng)系行星的直徑，或是世界上河流的長(zhǎng)度，然后找到它們的對(duì)數(shù)。你會(huì)發(fā)現(xiàn)以 1、2、3、4、5、6、7、8 或 9 開(kāi)頭的數(shù)同樣多。納皮爾的對(duì)數(shù)成功地轉(zhuǎn)換了數(shù)的乘法分布，并將這種規(guī)律引入加法之中。

基于這一觀察結(jié)果，西蒙·紐科姆計(jì)算出首位數(shù)字應(yīng)當(dāng)具有的理論分布。幸甚，幸甚！這種理論分布與弗蘭克·本福特在五十年后發(fā)現(xiàn)的真實(shí)分布奇跡般地吻合了（圖 1.23）。在理論與具體實(shí)驗(yàn)的結(jié)果相符時(shí)，科學(xué)家會(huì)感到異常高興?，F(xiàn)在我們可以確信自己清楚地了解了發(fā)生的事情。

只剩下最后一個(gè)問(wèn)題了。是的，這個(gè)世界青睞乘法，但為什么？為什么現(xiàn)實(shí)似乎在所有的情況下都偏愛(ài)這種分布呢？同樣地，答案并不存在于大自然中，而是存在于人類對(duì)大自然的觀察偏差之中。鑒于本福特定律所具有的普遍性，它沒(méi)有任何理由要取決于我們看待它的方式。

例如，法國(guó)的地理學(xué)家以公里為單位丈量河流，而英國(guó)的地理學(xué)家則以英里為單位丈量河流。因此，根據(jù)你的所在地是位于英吉利海峽的這一邊還是那一邊，尼羅河的長(zhǎng)度要么是 6650 公里（以 6 開(kāi)頭），要么是 4130 英里（以 4 開(kāi)頭）。而世界上所有的河流，其長(zhǎng)度的首位數(shù)字都會(huì)根據(jù)所采用的計(jì)量單位是法式的還是英式的而發(fā)生改變。有人可能會(huì)認(rèn)為，這種計(jì)量單位的改變會(huì)顛覆首位數(shù)字的整體分布，讓英國(guó)學(xué)者使用對(duì)數(shù)表的方式不同于法國(guó)學(xué)者的使用方式。但情況并非如此。公里和英里都是人類的發(fā)明，而大自然并不在乎我們使用哪種計(jì)量單位去測(cè)量它。從法國(guó)或英國(guó)的角度去看，每一條被分別丈量的河流，其長(zhǎng)度不會(huì)有相同的首位數(shù)字，但如果我們制定出世界上河流長(zhǎng)度的完整列表，則首位數(shù)字的總體分布應(yīng)當(dāng)會(huì)保持不變。

換言之，本福特定律應(yīng)該是不變的。就像美索不達(dá)米亞式乘法的結(jié)果，就算沒(méi)有零和小數(shù)點(diǎn)也依然會(huì)保持不變；就像字母 E 在一個(gè)足夠長(zhǎng)的文本中所占的比例始終會(huì)是大約 15%，無(wú)論文本的內(nèi)容為何。無(wú)論我們使用什么方法去測(cè)量自然和收集數(shù)據(jù)，首位數(shù)字的分布都會(huì)保持不變。

如果你打算在世界不同國(guó)家的超市里進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的話，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，本福特定律不會(huì)在乎你是以歐元、人民幣、美元還是第納爾來(lái)計(jì)算。無(wú)論使用哪種貨幣，這條定律都不會(huì)發(fā)生變化。

計(jì)量單位的改變，無(wú)論是把公里轉(zhuǎn)換成英里，還是把歐元轉(zhuǎn)換成第納爾，或是其他的單位轉(zhuǎn)換，都是一種乘法。一條河流的長(zhǎng)度是另一條河流的兩倍，無(wú)論采用哪種計(jì)量單位，這個(gè)長(zhǎng)度的兩倍都不會(huì)改變。一種價(jià)格比其他產(chǎn)品貴三倍的奶酪，無(wú)論使用哪種貨幣，它的價(jià)格始終都貴三倍。計(jì)量單位改變了，乘法的差距不變。因此，在任意數(shù)據(jù)列表中，我們都會(huì)發(fā)現(xiàn)介于 1 和 2、2 和 4 或 4 和 8 之間的數(shù)比例是相同的。所以，我們需要關(guān)注的是這種乘法的差距。

這就是為什么世界是乘法的。這就是為什么對(duì)數(shù)標(biāo)度如此適切。這就是為什么我們的數(shù)字系統(tǒng)會(huì)不斷誤導(dǎo)我們的直覺(jué)。而這也是為什么本福特定律會(huì)是真實(shí)、美麗而又放之四海皆準(zhǔn)的。

在隨后的幾年中，本福特定律在各處都得到了具體的應(yīng)用。

美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家哈爾·瓦里安（Hal Varian）在 1972 年提出用本福特定律來(lái)檢測(cè)舞弊。原理很簡(jiǎn)單：當(dāng)舞弊者把一份數(shù)據(jù)列表篡改成利于自己的時(shí)候，他們會(huì)露出馬腳。也就是說(shuō)，他們偽造的數(shù)據(jù)會(huì)有不同的首位數(shù)字分布。尤其是，偽造的數(shù)據(jù)會(huì)更頻繁地以 5 或 6 開(kāi)頭，這與本福特定律不符。這或許是因?yàn)槲璞渍邇A向于認(rèn)為，相較于以 1 或 9開(kāi)頭的數(shù)，一個(gè)中等大小的數(shù)看起來(lái)不會(huì)那么可疑，或是更正常。盡管如此，這種偏差仍會(huì)導(dǎo)致首位數(shù)字中的 5 和 6 遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于應(yīng)有的數(shù)量。這種偏差的幅度可以用來(lái)估算潛在舞弊者的數(shù)量。例如，這種方法被用來(lái)追蹤稅務(wù)申報(bào)中的統(tǒng)計(jì)異常，或發(fā)現(xiàn)選舉時(shí)操縱選票的行為。但我們必須承認(rèn)：如果排除幾種不同的應(yīng)用，本福特定律在我們的日常生活中并沒(méi)有重大的影響。知道超市貨品的價(jià)格遵循這一定律很有趣，但其實(shí)沒(méi)有太大用處；知道各國(guó)的人口、世界上的河流或天空中的天體都遵循這一定律，也沒(méi)有太大用處。“沒(méi)用處”究竟是好是壞，由你來(lái)定奪。

但是，我們因好奇而踏足的這條道路上充滿了驚喜。當(dāng)然了，出于純粹的智力挑戰(zhàn)，出于體驗(yàn)數(shù)學(xué)的形式之美，出于讓我們的思維變得多姿多彩，不帶任何期待地去理解一件事，未必不會(huì)讓人獲得極大的滿足。然而，即便是最無(wú)用的事情，有時(shí)也會(huì)暗藏意料之外的寶藏?？刹灰凸懒诉@些定理。

或許有一天，在你完全沒(méi)有想到的那一刻，“有用之處”會(huì)不期而至。它們會(huì)像成熟而甜美的果實(shí)那樣，自然而然地落入你的手中。

作者：[法] 米卡埃爾?洛奈（Micka?l Launay）

譯者：歐瑜

驚訝！是思考的起點(diǎn)；

數(shù)學(xué)，是理解世界本質(zhì)與萬(wàn)物關(guān)聯(lián)的工具！

以數(shù)學(xué)為起點(diǎn)，以思考為快樂(lè)！

法國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)“達(dá)朗貝爾獎(jiǎng)”得主科普名作。

數(shù)學(xué)，是理解世界本質(zhì)與萬(wàn)物關(guān)聯(lián)的工具，它能制造兩個(gè)指南針：一個(gè)叫“實(shí)用”，一個(gè)叫“優(yōu)雅”。不懂得數(shù)學(xué)的意義，就無(wú)法真正學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)。

科學(xué)家為什么那么聰明？因?yàn)樗麄冇蟹欠驳乃伎挤椒ā?/p>

以數(shù)學(xué)為工具，以思考為快樂(lè)；培養(yǎng)自己的思考力、觀察力，成為真正的思考者。